Curiosidades sobre Números Complexos

Banda "i"
Banda "i"era uma banda formada apenas por matemáticos, e eles tinham uma música chamada “i”. Obviamente a banda ficava cinco minutos em silêncio quando tocava “i”.

Não entendeu? Eu explico!

“i" é um termo matemático usado nos números complexos. O “i” representa a raiz quadrada de -1. No entanto, não existe um resultado para a raiz quadrada de -1, por isso, uma música com o nome “i” também não existe. Genial!

Piadas!

 

Exercicios Números Complexos

Questões:

01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:

a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i


02. Se f(z) = z² - z + 1, então f(1 - i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i


03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)⁴ é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos

 
04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i¹⁰ + i^-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1

 
05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )^-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2


06. A potência (1 - i )¹⁶ equivale a:

a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256


07. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z₁ . z₂|² = 10 então x é igual a: 

a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1


08. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:

a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5


09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.


10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x⁸ - 17x⁴ + 16 = 0.



Resolução:

01. C	02. C	03. C	04. A
05. E	06. E	07. E	08. D

 09. 3 - 2i; -3 + 2i
10. V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}

Indo além da Geometria!

Numeros Complexos

A origem do i ao quadrado igual a -1
No estudo dos números complexos deparamo-nos com a seguinte igualdade: i² = – 1.

A justificativa para essa igualdade está geralmente associada à resolução de equações do 2º grau com raízes quadradas negativas, o que é um erro. A origem da expressão i² = – 1 aparece na definição de números complexos, outro assunto que também gera muita dúvida. Vamos compreender o motivo de tal igualdade e como ela surge.

Primeiro, faremos algumas definições.

1. Um par ordenado de números reais (x, y) é chamado de número complexo.
2. Os números complexos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) são iguais se, e somente se, x₁ = x₂ e y₁ = y₂.
3. A adição e a multiplicação de números complexos são definidas por:

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂ ,  y₁ + y₂)

(x₁, y₁)*(x₂, y₂) = (x₁*x₂ – y₁*y₂ ,  x₁*y₂ + y₁*x₂)

Exemplo 1. Considere z₁ = (3, 4) e z₂ = (2, 5), calcule z₁ + z₂ e z₁*z₂.
Solução:
z₁ + z₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z₁*z₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)

Utilizando a terceira definição fica fácil mostrar que:
(x₁, 0) + (x₂, 0) = (x₁ + x₂, 0)
(x₁ , 0)*(x₂, 0) = (x₁*x₂, 0)

Essas igualdades mostram que no que diz respeito às operações de adição e multiplicação, os números complexos (x, y) se comportam como números reais. Nesse contexto, podemos estabelecer a seguinte relação: (x, 0) = x.

Usando essa relação e o símbolo i para representar o número complexo (0, 1), podemos escrever qualquer número complexo (x, y) da seguinte forma:

(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → que é a chamada de forma normal de um número complexo.

Assim, o número complexo (3, 4) na forma normal fica 3 + 4i.

Exemplo 2. Escreva os seguintes números complexos na forma normal.

a) (5, – 3) = 5 – 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i

Agora, observe que chamamos de i o número complexo (0, 1). Vejamos o que ocorre ao fazer i2.
Sabemos que i = (0, 1) e que i² = i*i. Segue que:
i² = i*i = (0, 1)*(0, 1)
Utilizando a definição 3, teremos:
i² = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0)

Como vimos anteriormente, todo número complexo da forma (x, 0) = x. Assim,
i² = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0) = – 1.
Chegamos à famosa igualdade i² = – 1.

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática

Exercicios sobre Esfera

24) Para uma esfera de raio igual a 200cm, calcule a área da superfície, o volume da esfera, o volume da cunha esférica que corresponde a um ângulo de 30º e a área do fuso esférico com ângulo de 60º.

25) Uma esfera de raio R é seccionada a 60cm do centro e o raio da secção é 80cm. Calcule a área da superfície e o volume dessa esfera.

26) Um cubo de aresta 120cm está circunscrito a uma esfera completamente cheia de água. Calcule:
a) a área da superfície da esfera          b) o volume da esfera         c)  o númer de litros de água que a esfera contém. Use π = 3

27) Se o volume de um cubo que se encontra inscrito em uma esfera é 1000 cm³, calcule o o volume da esfera, em cm³ e em ml.

28) Sabendo que a área da superfície de uma esfera é 400π m², calcule o volume desta esfera e o volume de um cilindro de 8 m de altura que tem o mesmo raio.

29) Sabendo que o volume de uma esfera é 256π m², calcule a área de sua superfície e a área e volume de um cilindro equilátero que possui o mesmo raio desta esfera.

Estudo da Esfera.

Definição de uma esferaUma esfera é definida como um sólido de centro O e raio R cujos conjunto de pontos do espaço estão a uma distância do centro igual ou menor que R. Eis uma ilustração:

*Volume:
O volume da esfera de raio R é dado por:

*Partes da esfera

Superfície esférica :

A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

A área da superfície esférica é dada por:

* Zona esférica:

É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

A área da zona esférica é dada por:

* Calota esférica :

É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

Ä área da calota esférica é dada por:

* Fuso esférico :

O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo:

A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

* Cunha esférica :

Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo :

O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:

A esfera é obtida através da revolução da semicircunferência sobre um eixo. Podemos considerar que a esfera é um sólido.

Alguns conceitos básicos estão relacionados à esfera, se considerarmos a superfície esférica destacamos os seguintes elementos básicos:

Ø Pólos

Ø Equador

Ø Paralelo

Ø Meridiano

 

Posição relativa entre plano e esfera

Plano secante à esfera :

O plano intersecciona a esfera formando duas partes, se o plano corta a esfera passando pelo centro temos duas partes de tamanhos iguais.

Plano tangente à esfera :

O plano tangencia a esfera em apenas um ponto, formando um ângulo de 90º graus com o eixo de simetria.

Plano externo à esfera :

O plano e a esfera não possuem pontos em comum.

esfera possui inúmeras aplicações, como exemplo podemos citar a Óptica (Física), a seção de uma esfera forma uma lente esférica, que são objetos importantes na construção de óculos. Corpos esféricos possuem grande importância na Engenharia Mecânica, a parte interior de inúmeras peças capazes de realizar movimentos circulares sobre eixos é constituída de esferas de aço. Um bom exemplo dessas peças é o rolamento.

Estudo da pirâmide

As pirâmides são poliedros cuja base e uma região poligonal e as faces laterais são regiões triangulares, conforme podemos verificar na figura abaixo.

I) Pirâmide reta e pirâmide regular

Uma pirâmide se diz reta quando a projeção ortogonal do vértice cai no centro da base.

Uma pirâmide se diz regular quando for reta e sua base for um polígono regular.

Numa pirâmide regular as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.

A altura de uma face lateral e chamada apótema da pirâmide e sua medida será indicada por g.

　

II) O tetraedro

O sólido que possui no total, quatro faces e chamado tetraedro. O tetraedro nada mais e do que uma pirâmide de base triangular.

Quando todas as faces do tetraedro são triângulos equiláteros, ele se diz regular.

III) Volume de uma pirâmide

O volume de qualquer pirâmide e igual a um terço do produto da área da base pela medida da altura, ou seja: V = S h b 31

IV) Tronco de pirâmide regular (bases paralelas)

Consideremos agora, o solido constituído pela base da pirâmide, uma secção transversal e os pontos compreendidos entre a base e a secção transversal. Esse sólido e denominado tronco de pirâmide de bases paralelas, em que destacamos:

•As bases do tronco são: a base da pirâmide e a secção;

• As faces laterais são trapézios;

•A distancia entre as bases do tronco chama-se altura do tronco, que chamaremos de k.

• Seu volume e dado por V = ( . )3B B b bk + + . Sendo B a base maior

e b a base menor.

Exercite!

Exercite!

(ENEM – 2000) 43 - Uma empresa de transporte armazena seu combustível em um reservatório cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu conteúdo e medido com uma vara graduada em vinte intervalos, de modo que a distancia entre duas graduações consecutivas representa sempre o mesmo volume.

A ilustração que melhor representa a distribuição das graduações na vara e:

(ENEM – 2001) 24 - Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa que devera conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em centímetros.

Os sólidos são fabricados nas formas de:

I. Um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 cm.

II. Um cubo de aresta 2 cm.

III. Uma esfera de raio 1,5 cm.

IV. Um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2 cm, 3 cm e 4 cm.

V. um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 cm.

O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos:

(A) I, II e III.

(B) I, II e V.

(C) I, II, IV e V.

(D) II, III, IV e

(E) III, IV e V

(ENEM – 2003) 6 - Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30 cm. A transportadora acondicionara esses pacotes em caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x 60 cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse envio e:

(A) 9

(B) 11

(C) 13

(D) 15

(E) 17

(ENEM – 2005) 61- Os três recipientes da figura tem formas diferentes, mas a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Neles e colocado liquido ate a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras.

 

Representando por V1, V2 e V3 o volume de liquido em cada um dos recipientes,

tem-se:

(A) V1 = V2 = V3 (B) V1 < V3 < V2 (C) V1 = V3 < V2 (D) V3 < V1 < V2

(E) V1 < V2 = V3

(ENEM – 2009) 153 - Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araujo,

mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares a sua própria face superior, que, por sua vez, e um triangulo congruente ao triangulo base dos prismas. Alem disso, considere que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.

 

Imagine um plano paralelo a face α do prisma I, mas que passe pelo ponto P pertencente a aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse plano imaginário com a escultura contém:

A) dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos.

B) dois retângulos congruentes e com lados correspondentes paralelos.

C) dois trapézios congruentes com lados correspondentes perpendiculares.

D) dois paralelogramos congruentes com lados correspondentes paralelos.

E) dois quadriláteros congruentes com lados correspondentes perpendiculares.

(ENEM – 2009) 173 - Uma fabrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de 35 cada bloco e igual a base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

 

Se o dono da fabrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passara a gastar com parafina para fabricar uma vela?

A) 156 cm3

B) 189 cm3

C) 192 cm3

D) 216 cm3

E) 540 cm3

(ENEM – 2009) 177 - Um artesão construiu pecas de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes pecas que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.

Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?

A) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.

B) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triangulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.

C) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano e um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.

D) O numero de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano e igual ao numero de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.

E) O numero de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide

por um plano e igual ao numero de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.

(ENEM – 2009) 179 - A cisterna e um recipiente utilizado para armazenar água da chuva. Os principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da chuva são: a demanda diária de água na propriedade; o índice médio de precipitação (chuva), por região, em cada período do ano; o tempo necessário para armazenagem; e a área de telhado necessária ou disponível para captação.

Para fazer o calculo do volume de uma cisterna, deve-se acrescentar um adicional relativo ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer uns coeficientes adicionados 10% ao volume calculado de água. Desse modo, o volume, em m3, de uma cisterna e calculado por Vc = Vd × Ndia, em que Vd = volume de demanda da água diária (m3), N dia = numero de dias de armazenagem, e este resultado deve ser acrescido de 10%.

Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja feita somente nos telhados das edificações.

Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m2 produz 1 litro de água, pode-se calcular a área de um telhado a fim de atender a necessidade de armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m2) = volume da cisterna (em litros)/precipitação.

Para atender a uma demanda diária de 2.000 litros de água, com período de armazenagem de 15 dias e precipitação media de 110 mm, o telhado, retangular, devera ter as dimensões mínimas de:

A) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de 30 m2

B) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 300 m2

C) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma área de 3.000 m2

D) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 2.730 m2

E) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 3.300 m2